Iliustracija: Roman Mager / Unsplash

Visuotinai priimta pirmuoju Graikijos filosofu laikyti Talį iš Mileto, kuriam priskiriamas ir pirmasis įrodymas apie matematines teorijas. Klausimas: kiek šiuolaikinis matematikas yra filosofas, kiek – metafizikas?


Foto: Rimas Norvaiša

Na nesiryžtu atsakyti į šį klausimą. Nors jį lyg ir suprantu. Bet kuris atsakymas atrodo vienpusiškas, neišsamus. Šiek tiek pažįstu puikių, pasaulinio garso matematikų. Niekaip negalėčiau sakyti, kad jie save laikytų filosofais ar metafizikais. Jiems matematika yra visas jų pasaulis. Bandymas klausti, kiek jie yra filosofai ar metafizikai, baigtųsi nesėkmingai. Gal būt dėl tokio klausimo net įsižeistų.

Kita vertus žmogui iš šalies ir kai kuriems matematikams, šis klausimas greičiausiai atrodo normalus. Matyt, tokiu atveju, į matematiką, filosofiją ir metafiziką žvelgiama kaip į žinių sritis. Ne kaip į veiklos sritį ar gyvenimo būdą. Bet tai būtų skirtingas klausimo traktavimas.

Man atrodo ne mažiau įdomiu yra klausimas, kiek šiuolaikinis filosofas ar metafizikas yra matematikas? Būtent taip klausime pristatomas Talis iš Mileto. Kaip filosofas, kuris reikšmingai prisidėjo prie matematikos. Bet kuriuo atveju, mes bandytume žmones apibūdinti schemomis, kurios atsirado dėl įvairiausių pašalinių priežasčių. Viena iš jų yra akademinės veiklos klasifikavimas.

Taip, filosofijos ir matematikos idėjų istorijos požiūriu, Talis iš Mileto yra reikšmingas asmuo. Atrodo, jis buvo labai universalus savo interesais ir veikla. Tokiais mūsų laikais būti neįmanoma. Specializacija ir žinojimo gylis tapo mūsų dienų bruožu. Gal dėl to nesinori daryti apibendrinančių vertinimų.

Pitagoras tarė: „Visa yra skaičius.“ Kaip paaiškintumėte šį teiginį?

Panašiai kaip aiškintume Talio iš Mileto teiginį – ,,Visa yra vanduo“. Pagal Pitagorą visa ko pagrindas yra skaičiai ir jų santykiai. Skaičiais senovės graikai laikė tik natūraliuosius skaičius 2, 3, 4,…. . Pavyzdžiui, stygos skambėjimo skirtumai priklauso nuo jos ilgio santykių, išreiškiamų skaičių santykiais. Tuo panašumas tarp to meto filosofijos ir matematikos nesibaigė.

Pitagoriečiai, dideliam savo nusivylimui aptiko, kad net vienetinio kvadrato įstrižainė neturi bendro vieneto su kraštine. Tai reiškia, kad šios atkarpos nėra išreiškiamos skaičių santykiu. Tokiu būdu net geometrija nėra apibūdinama skaičiais. Būdas, kuriuo pavyko paneigti, jog ,,Visa yra skaičius“ yra įrodymas prieštaros būdu.

Įdomu, kad įrodymu prieštaros būdu rėmėsi ir Zenonas Elėjietis norėdamas paneigti judėjimo galimumą. Dar daugiau, istorikai iki šiol nesutaria, kas pirmieji pradėjo naudoti tokį samprotavimą. Pastarasis, ne mažiau už Talį iš Mileto, yra reikšmingas matematikai ir jos tolesniam vystymuisi.

Kaip keitėsi skaičiaus samprata nuo Antikos laikų iki dabar? Kaip dabar aiškinamas santykis  tarp skaičių ir daiktų, reiškinių savybių?

Antrasis klausimas – geras. Į jį atsakysiu taip. Matematikai iki šiol nežino, koks yra santykis tarp realiųjų skaičių ir geometrinės tiesės. Tą santykį jie nustato savavališkai priimdami aksiomą, kad tarp realiųjų skaičių aibės ir geometrinės tiesės egzistuoja tvarką išsauganti abipus vienareikšmė atitiktis. Tuo labiau nežinomas santykis tarp skaičių ir daiktų ar reiškinių savybių.

Sakydamas ,,nežino“, turiu galvoje, matematikai ,,negali įrodyti“ remdamiesi paprastesnėmis prielaidomis. Šiuolaikinis matematikų požiūris į aksiomas skiriasi  nuo senovės graikų. Šie aksioma vadino teiginį, kuris akivaizdžiai teisingas. Nuo XIX amžiaus aksioma reiškia tik prasmės suteikimo sąvokai būdą. Aksioma neprivalo būti akivaizdžia. Svarbiausia, kad aksiomų pagalba įrodomi teiginiai niekada nebus prieštaringi.

Pirmasis klausimas apie skaičių sampratos evoliuciją taip pat geras. Bet atsakymas į jį būtų per daug ilgas tokio žanro tekste. Pasakysiu tik tiek, kad skirtingose civilizacijose skaičius matematikos kontekste evoliucionavo skirtingai. Vakarų kultūra šiuo klausimu nėra geriausias pavyzdys. Pavyzdžiui, neigiamais skaičiais Vakarų Europos matematikai pradėjo pasitikėti tik XIX amžiuje. Tuo tarpu, indų matematikai, kaip ir kinų matematikai, neturėjo problemų su neigiamais skaičiais du-tris tūkstančius metų atgal.

Platonui matematinis pažinimas – tai prisiminimas. Kaip interpretuotumėte tokią matematiką? Jūsų nuomone, ar matematika gali būti kelias vedantis link galutinio pažinimo?

Tikriausiai, pagal Platoną, matematinis samprotavimo būdas yra įgimtas kiekvienam žmogui. Sakydamas, kad matematinis pažinimas – tai prisiminimas, Platonas matyt nori pasakyti dar daugiau. Pagal jį matematikos žinias žmogus įgyja ateidamas į šį pasaulį. Vėliau, atrasdamas matematikos žinias, jis jas tiesiog prisimena.

Aš abejočiau tokia interpretacija. Ji ne mano. Nors Platono specialistai žino geriau. Man priimtinesne būtų interpretacija, pagal kurią ,,prisimename“ sąvokų kūrimą naudojant abstrahavimą. Jei žmogus prisimena matematikos faktus, tai nereikėtų ant Akademijos vartų rašyti ,,Te neįeina tas, kuris nežino geometrijos“. Jei yra tokių, kurie neprisimena geometrijos, tai matyt ne kiekvienas gimsta su matematikos žiniomis.

Matematiniame pažinime pagrindinį vaidmenį vaidina intuicija, euristinis samprotavimas. Šie dalykai yra sunkiai apibūdinami ir kaip nors prognozuojami. Matematika tik išoriškai atrodo kaip tvarkingų faktų ir teiginių sistema. Tai paviršutiniškas vaizdas. Aš manyčiau, kad matematikos žinios gimsta iš chaoso. Šis gimimo procesas nelabai panašus į atsiminimą. Bet gal tai subjektyvi patirtis. Tikrai nemanau, kad matematika ar koks nors kitas būdas galėtų vesti link galutinio pažinimo.

Ar matematikoje yra neišsprendžiamų uždavinių? Ar visi jie įveikiami – sunkiai, bet anksčiau ar vėliau išsprendžiami?

Jei kalbėti apie dabartinės matematikos galimybes, tai yra neišsprendžiamų uždavinių. Yra net tokių klausimų, kurių atsakymų mes negalime rasti iš principo naudodami šiuolaikines matematikos žinias. Turiu galvoje klausimą: Ar realiųjų skaičių aibėje yra toks poaibis, kuris būti ,,didesnis“ už natūraliųjų skaičių aibę, bet ,,mažesnis“ už visą realiųjų skaičių aibę? Vadinamoji kontinuumo hipotezė teigia, kad tokios aibės nėra. Bet to neįmanoma įrodyti, naudojant šiuolaikinę aibių teoriją.

Tai nereiškia, kad ateityje atsakymas į šį ir kitus klausimus nebus rastas. Anksčiau ar vėliau, jei išliks žmonija, visi konkretūs klausimai turėtų būti išsprendžiami.

Ką reiškia sąvoka „matematinis grožis“? Ar Jums teko išgyventi tokį jausmą – skaičių harmoniją? Koks matematikos ir vaizduotės santykis?

Mano supratimu ,,matematinis grožis“ yra tai, kas kuria grynąją matematiką. Panašiai kaip meno kūrinys gimsta ir suvokiamas kaip grožio pasireiškimas. Dažniausiai gražus matematikoje būna samprotavimas, įrodymas. Matematikams grožis yra kasdieninis reikalas. Jie turi, pavyzdžiui, visų laikų gražiausių įrodymų ,,top dešimtuką“.

Skaičių harmonija? Greičiau sakyčiau skaičių jausmas. Tai tiesiog jauti skaičius, kaip daiktus savo kambaryje, į juos nežiūrėdamas. Kalbant apie harmoniją, labiau tiktų frazė ,,idėjų harmonija“. Arba tiesiog, harmonija yra viena iš matematinio grožio formų. Vaizduotė matematikui yra tas pats, kas menininkui jo dirbtuvė ar rašomasis stalas. Sunku kalbėti už visus matematikus, bet man matematika yra tik kaip vaizduotės dalis. Vaizduotė yra matematikos buveinė. Nėra vaizduotės, nėra ir matematikos.

Pasakysiu dar vieną dalyką, ko nėra klausime. Matematikui didžiausią euforiją suteikia naujo supratimo gimimo procesas. Kitaip tariant – tai matematinis atradimas. Tokį teko išgyventi. Jį sunku apibūdinti. Gal būt kažkas panašaus įvyksta, kai tikintis žmogus pajunta ryšį su Dievu. Mano atveju sąmonėje atsivėrė milžiniška harmoninga struktūra, apie kurią niekada nesvajojai ir neplanavai aptikti, ji tiesiog pati gimsta. Euforija atsiranda dėl supratimo, kad pats visų detalių sugalvoti negalėjai, jos tiesiog pačios atsirado sustodamos į tas vietas, kuriose joms priklauso būti.

Sakoma, kad šiuolaikinės matematikos ypatumas tas, kad tiria dirbtinai išrastus objektus? Galėtumėte apie tai papasakoti vaizdžiai ir daugiau?

Išsireiškimas, kad matematikas tiria ,,dirbtinai išrastus objektus“, panašus į sakymą, kad menininkas kuria ,,dirbtinius objektus“. Taip, tai tiesa.  Matematiniai objektai neatsirado savaime, jie sukurti dirbtinai arba paties arba kurio nors kito matematiko. Bet matyt, šiuo atveju, norima pasakyti, kad matematika tiria ne realios tikrovės objektus. Jei, tai turima galvoje, tai tiesiog pasirinkti žodžiai nėra tinkami tai pasakyti.

Kaip minėjau, matematika randasi vaizduotėje. Ten randasi ,,dirbtinai išrasti objektai“. Tai gali būti nesuprantama nematematikui. Nes jis įsivaizduoja matematiką kaip simbolių rinkinį. Matematikui simboliai yra kaip rašytojui žodžiai. Kaip rašytojui svarbu žodžio prasmė ir jo sukuriamas vaizdinys, taip matematikui už simbolio stovi jo prasmė ir ją interpretuojanti vaizduotė. Rašytojas turi vieną apribojimą – jis naudojasi tik tomis kalbos priemonėmis, kurios yra suprantamos skaitytojui. Matematikas turi papildomą galimybę. Jis gali sukruti naują simbolį, suteikdamas jam naują prasmę. Visas matematinis tekstas gali būti parašytas, naudojant naujus simbolius ir jų prasmes. Šia prasme matematika yra kūryba su neribotomis galimybėmis.

Jūsų nuomone, ar matematika galėtų atsakyti į klausimą, kokios formos yra Visata? Ar jai įkandamas pasaulio esmės klausimas?

Trumpas atsakymas – ne. Nes Visata yra realios tikrovės dalis. Ji yra fizikos objektas. Matematikos objektas yra tam tikras sąlygas tenkinanti abstrakcija. Tą patį galima pasakyti ir pasaulio esmės klausimą, jei pasauliu laikoma reali fizinė tikrovė. Taip detaliai patikslinu, nes matematikos objektai sudaro savo pasaulį, kurį filosofai vadintų metafiziniu.

Tiesa, kosmologo Max‘o Tergmak‘o požiūriu, mūsų išorinė fizinė realybė yra matematinė struktūra. Šiuo požiūriu, Visata yra matematikos dalimi. Jei taip,tai klausimas apie Visatos formą yra matematinis. Gali būti, kad šios teorijos rėmuose atsakymas į jūsų klausimą žinomas.

Koks šiuolaikinės matematikos santykis su empirija?

Jei empirija yra suprantama kaip reali tikrovė, tai šiuolaikinė matematika tiesiogiai nesieja savęs su empirija. Netiesiogiai, empirija siejama su matematika, naudojant matematinį modelį. Vaizdžiai kalbant, realios tikrovės dalies matematinis modelis yra lyg ir konkrečios vietovės žemėlapis. Matematinė teorija nieko nesako apie empiriją. Tokiame kontekste matematika yra priemonė empirijos apibūdinimui ir tyrimui. Dažnai šis santykis apibūdinamas teigiant, kad matematika yra gamtos mokslo kalba.

Kalbant apie matematikų santykį su empirija, jis gali būti įvairus. Kai kurie matematikai savo veiklos neskiria nuo empirijos tyrimo. Tokiu atveju naudojama fraze ,,taikomoji matematika“ kaip skirtinga nuo ,,grynosios matematikos“. Pastaroji formaliai nesiejama su empirija. Bet gali nuo jos priklausyti, jei atitinkama matematikos dalis atsirado tokioje matematiko vaizduotėje, kuri savo motyvaciją semiasi iš realios tikrovės.

Žinomas biografinis Wittgenšteino faktas, kaip pakito filosofo požiūris į matematikos pagrindus. Pradžioje mąstytojas galvojo, kad logika gali suteikti tvirtus pamatus (žavėjosi Russell‘o veikalu apie Matematikos principus), vėliau pradėjo neigti, kad yra kokių nors matematinių faktų, kuriuos galima atrasti ir, kad matematikos reiškiniai gali būti teisingai suvokiami realiai. Kuriam Wittgensteinui pritartumėte Jūs, ankstyvajam ar vėlyvajam?

Nesu tikras, kad adekvačiai suprantu abu Wittgenšteino požiūrius. Vis tiek bandysiu atsakyti. Matyt pirmasis jo požiūris atitiko to meto logicizmą. Tai viena iš matematikos pagrindų mokyklų. Tokiu atveju, galiu pasakyti tai, ką manau apie logicizmą. Be jo šiuolaikinė matematika būtų neįsivaizduojama. G. Frege sukurta predikatų teorija tapo kasdiene matematikos kalba. Tik logicistų  noras matematiką suvesti į logiką liko nerealizuotas.  Abejoju ar kas nors dėl to gailisi.

Antrasis Wittgenšteino požiūris, man mažiau suprantamas. Spėju, kad jis matematiką siejo su kalba, kuri jokiais ryšiais nėra susaistyta su realiu pasauliu ir negali pasakyti nieko naujo greta to, kas jau yra matematikos aksiomose. Šis požiūris artimesnis šiuolaikinei matematikai. Bet jame sureikšminta matematikos forma ir neigiamas matematikos turinys. Mano nuomone, matematikos esmė yra prasmės kūrimas naudojant logiką ir abstrakcijas. Ta prasmė ir yra matematikos esmė. Ji neslypi matematikos prielaidose, nes prasmę kuria idėjos. Panašiai, kaip plytose nėra namo prasmės. Tik pastačius pastatą iš plytų, atpažįstame namo idėją.

Begalybė matematikoje ir begalybė filosofijoje – reiškia tą patį?

Manau, kad ne. Nuo XIX amžiaus pabaigos, G. Cantoro dėka, begalybė tapo matematikos sąvoka. Ji tapo neatskiriama ir esmine matematikos dalimi. Trumpai kalbant, skaičiaus sąvoka buvo apibendrinta begalybei, pratęsus aibės dydį ir tvarką joje begalinėms aibėms.

Negalėčiau pasakyti, kas yra begalybė filosofijoje šiais laikais. Neabejoju, kad ji neturi nieko bendro su matematine begalybe.

Ar matematikos ir filosofijos tiesos sampratos tapačios?

Panašus atsakymas, kaip ir begalybės atveju. Tiesos sampratos skirtingos. Šiuo atveju, taip pat tema per daug plati šio teksto žanrui. Trumpai kalbant, matematinė teorija teisinga, jei ji neprieštaringa. Kitaip tariant, teorija teisinga, jei jos kontekste neįmanoma įrodyti du vienas kitam prieštaraujančius teiginius.

Leibniz‘as savo laiku rašė maždaug taip (pateiksiu ilgą citatą):

„Nors esu vienas iš daug dirbusių matematikoje, vis dėlto aš nuo pat jaunystės be paliovos mąsčiau apie filosofiją, nes man visada atrodė, kad joje, pasitelkus aiškius įrodymus, įmanoma nustatyti šį tą pastovaus. Aš jau buvau gan toli įsiskverbęs į scholastikos sritis, kai matematikai ir šiuolaikiniai autoriai privertė mane dar jauną palikti jas. Mane sužavėjo jų patrauklus būdas mechaniškai aiškinti gamtą, ir aš pagrįstai ėmiau niekinti metodą tų, kurie naudojasi tiktai formomis ir sugebėjimais, neteikiančiais jokio žinojimo. Tačiau vėliau, pamėginęs pagilinti pačios mechanikos principus, kad pagrįsčiau iš patirties žinomus gamtos dėsnius, apsižiūrėjau, jog neužtenka atsižvelgti vien į tįsią masę, bet reikia pasitelkti dar ir jėgos sąvoką, kuri yra gerai suprantama, nors ir priklauso metafizikos sričiai. Be to, man atrodė, kad nuomonė tų, kurie gyvulius paverčia grynomis mašinomis arba sumenkina iki jų, nors iš pažiūros ir galima, vis dėlto neįtikima ir netgi prieštarauja tikrajai padėčiai.“

Ką Jūs pasakytumėte Leibniz‘ui iš dabartinių laikų perspektyvos?

Jei teisingai suprantu, Leibniz‘as teigia du dalykus. Viena, jis nori pritaikyti matematikos metodus filosofijai. Antra, jis nori papildyti mechaniką naujomis sąvokomis. Aš manau, kad abi programos yra prasmingos šiais laikais. Bet nemanau, kad pirmąją yra  verta bandyti realizuoti.

Noriu paminėti vieną K. Gödel‘io frazę iš atminties. Jis teigė, kad šiuolaikinė filosofija yra tokioje būsenoje, kurioje matematika buvo senovės egiptiečių laikais, t.y. matematika buvusi iki senovės graikų laikų. Gödel‘is matyt turėjo galvoje tą patį, ką ir Leibniz‘as dėl matematikos metodų taikymo filosofijoje. Man tokia perspektyva nekelia entuziazmo. Todėl palikim ją ramybėje.

Kas dėl bandymo papildyti realios tikrovės suvokimą naujomis matematikos sąvokomis, tai tokią programą laikau labai aktualią. Tačiau sudėtingą realizuoti šiais laikais, kai mokslas finansuojamas ir planuojamas trumpalaikėmis programomis.

Matematikos filosofijos Lietuvoje pradininku laikomas Janas Sniadeckis (1756–1830). Ar šiuo metu yra mūsų šalyje šios srities filosofų?

Atsakymas – ne. Šiuo metu mes neturime žmonių dirbančių matematikos filosofijoje. Taip pat neturėsime greitu laiku. Priežasčių daug. Svarbiausių priežasčių šaknys nusidriekia į mūsų tautos istoriją, kurios aš neišmanau. Padėtis šiuo atžvilgiu paradoksali, nes mūsų kaimynai lenkai savo laiku buvo šios srities lyderiais pasaulyje. Liūdna konstatuoti, bet matematikos filosofijai užgimti reikalinga aukšta matematikos branda. Matematika yra kultūros reiškinys. Tad matematikos branda priklauso nuo konkrečios šalies kultūros brandos.

Jūsų minimą Janą Sniadeckį laikyčiau lenkų kultūros atstovu. Nors jis kurį laiką dirbo Vilniuje. Jo matematikos filosofijos teiginiai savo laiku man padarė didelį įspūdį. 1818 metais Imperatoriškame Vilniaus universitete Sniadeckio daryto pranešimo ištraukas panaudojau savajame matematinės ekonomikos vadovėlyje.

Ačiū

Klausimus parengė: Živilė Filmanavičiūtė, 2018.05.13

 

Share Button